PRODUCTO PUNTO O ESCALAR

En matemáticas, el producto escalar​, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de número. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación (« · »). El nombre alternativo de producto escalar enfatiza el hecho del que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de espacios de tres dimensiones)

Sean A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz); el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde θ  es el ángulo entre ambos vectores. También, se puede expresar como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
El producto escalar siempre es un número real, es conmutativo y distributivo, de él surge el teorema del coseno. Además, cuando el producto escalar de dos vectores A y B  es nulo (cero) significa que son perpendiculares entre sí.

PROPIEDADES

  1. El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo:
ζA = A ∙ A = |A|2 ≥ 0
Y sólo será nulo si A es un vector nulo. Por lo tanto:
|A| = √( A ∙ A ) = √ ζA
  1. El producto escalar es conmutativo:
A ∙ B = B ∙ A
Ya que el ángulo entre los vectores es el mismo y la multiplicación entre escalares es conmutativa.
  1. El producto escalar es distributivo:
A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C
  1. La multiplicación por un escalar:
β ∙ (A ∙ B) = |β||A||B| cosθ
(βA) ∙ (βB) = |βA||B| cosθ = |A||βB|cosθ
  1. Del producto escalar surge el Teorema del Coseno:
C = A + B
C · C = (A + B) · (A + B)
|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B| cosθ
Que no es otra cosa que el teorema del coseno.
  Teorema del coseno
  1. Diremos que dos vectores, no nulos, son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo (cero):
A ⊥ B           →         θ = π/2           →          A ∙ B = |A||B| cosθ = 0
EJEMPLO: (VIDEO)


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